Traktowanie przedmiotów jak punktów materialnych, tzn. obdarzonych masą cząstkek bezwymiarowych (o zerowej objętości), wystarczało w przypadku ruchu postępowego ciał, ponieważ ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała. Jednak rzeczywiste ciała są układami ogromnej liczby atomów, a ich ruch może być bardzo skomplikowany. Ciało może wirować lub drgać, w trakcie ruchu cząstki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie. Przykład takiego ruchu jest przedstawiony na Rys. 1.

Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to środek masy. Sposób wyznaczania środka masy zilustrujemy następującym przykładem.

Przykład 1: Położenie środka masy

Rozważamy układ dwóch różnych mas \( m_1 \) i \( m_2 \) pokazanych na Rys. 2.

Rysunek 2: Środek masy układu dwóch mas \( m_1 \) i \( m_2 \).

Położenie środka masy tego układu definiujemy jako

(1)

\( x_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}=\frac{m_{{1}}x_{{1}}+m_{{2}}x_{{2}}}{m_{{1}}+m_{{2}}} \)

lub

(2)

\( \overset{{\text{__}}}{{x}}=x_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}=\frac{m_{{1}}}{m_{{1}}+m_{{2}}}x_{{1}}+\frac{m_{{2}}}{m_{{1}}+m_{{2}}}x_{{2}}. \)

Widzimy, że położenie środka masy układu punktów materialnych wyznaczamy jak średnią ważoną, przy czym masa tych punktów jest czynnikiem ważącym przy tworzeniu średniej. Przez analogię dla układu \( n \) cząstek (punktów materialnych) współrzędna \( x \) środka masy jest dana zależnością

gdzie suma mas \( m_i \) poszczególnych punktów układu jest całkowitą masą \( M \) układu. Postępując w ten sam sposób, możemy wyznaczyć pozostałe współrzędne \( y \), \( z \). W wyniku otrzymujemy trzy równania skalarne (analogiczne do ( 3 ) ), które możemy zastąpić jednym równaniem wektorowym

Zauważmy, że środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia, a nie zależy od wyboru układu odniesienia. Dla ciał o regularnym kształcie środek masy pokrywa się ze środkiem geometrycznym.

Zadanie 1: Środek masy

Treść zadania:

Znajdź środek masy układu trzech cząstek o masach \( m_1= 1 \) kg, \( m_2= 2 \) kg i \( m_3= 3 \) kg, umieszczonych w wierzchołkach równobocznego trójkąta o boku \( a = 1 \) m. Wynik zapisz poniżej.
Wskazówka: Wybierz układu odniesienia, a następnie oblicz współrzędne \( x \) i \( y \) środka masy zgodnie z równaniem ( 3 ).
\( x \) \( _{śr.m.}= \)
\( y \) \( _{śr.m.}= \)

Rozwiązanie:

Dane:
\( m_1= 1 \) kg, \( m_2=2 \) kg i \( m_3=3 \) kg, \( a = 1 \) m.
Ponieważ wynik nie zależy od wyboru układu odniesienia, to możemy przyjąć dowolny układ odniesienia, w szczególności taki, jak na Rys. 3.

Rysunek 3:

Współrzędne \( x \), \( y \) położenia mas \( m_1 \), \( m_2 \) i \( m_3 \) wynoszą odpowiednio

(5)

\( (0,0);\;(a,0);\;\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2}\right). \)

Współrzędne środka masy obliczamy zgodnie z równaniem ( 3 ).

(6)

\( x_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}=\frac{m_{{1}}x_{{1}}+m_{{2}}x_{{2}}+m_{{3}}x_{{3}}}{m_{{1}}+m_{{2}}+m_{{3}}}=\frac{7}{\text{12}}m \)

(7)

\( y_{{\text{śr}\text{.}m\text{.}}}=\frac{m_{{1}}y_{{1}}+m_{{2}}y_{{2}}+m_{{3}}y_{{3}}}{m_{{1}}+m_{{2}}+m_{{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{4}m \)

Zwróćmy uwagę, że położenie środka masy nie pokrywa się ze środkiem geometrycznym.